最近の気づき：到達可能関係と閉包

直観主義命題論理のカノニカルモデル

直観主義命題論理のカノニカルモデルを $〈\mathcal{W},\le ,⊩〉$ とおく． きちんと書くと， 無矛盾なプライム理論ひとつを可能世界ひとつとみなして， それらをすべて集めたものを可能世界の集合 $\mathcal{W}$ とする． 可能世界の間の到達可能関係 $\le$ は， 理論の間の包含関係によって定める． 付値 $⊩$ は，論理式と理論との間の帰属関係によって定める．

論理式の全体集合を $\mathrm{Fml}$ と書くことにする． 理論とは，論理式の集合 $T\subset \mathrm{Fml}$ であって，演繹的に閉じているもの，すなわち任意の論理式 $A$ に対して $$T⊢A\Rightarrow T\ni A$$ が成り立つようなものをいう．

理論 $T$ が無矛盾であるとは， $T$ が $A\wedge \neg A$ という形の論理式を一切含まないことをいう．

理論 $T$ がプライム理論であるとは， 任意の論理式 $A,B$ に対して $$A\notin T,B\notin T\Rightarrow A\vee B\notin T$$ が成り立つことをいう． 環論における素イデアルの慣習にしたがって， 以降はプライム理論を $\mathfrak{p}$ のようなドイツ文字で表す*1．

無矛盾な理論であって，なおかつプライム理論の条件をみたすものをすべて集めて， 可能世界の全体集合 $\mathcal{W}$ とする． このとき可能世界は論理式の集合なので， 集合の包含関係によって可能世界の間の到達可能関係を定められる． すなわち， $$\mathfrak{p}\le \mathfrak{q}\iff \mathfrak{p}\subset \mathfrak{q}$$ と定める． また，各可能世界 $\mathfrak{p}$ と論理式 $A$ に対して， $$\mathfrak{p}⊩A\iff \mathfrak{p}\ni A$$ と定める*2．

閉集合系の定義

論理式の集合 $S$ に対して， $S$ を包む可能世界の全体集合を $V\left(S\right)$ とおく． すなわち， $$V\left(S\right)=\{\mathfrak{p}\in \mathcal{W}:S\subset \mathfrak{p}\}$$ である． このとき， $V\left(S\right)$ という形で書ける集合の全体がなす族 $$\{V\left(S\right)\subset \mathcal{W}:S\subset \mathrm{Fml}\}$$ を考えると，これは位相空間の閉集合系の条件をみたす（ひとつひとつ確認すると示せる）． このことにもとづいて $\mathcal{W}$ の位相を定める．

可能世界 $\mathfrak{p}$ に対して， $V\left(\mathfrak{p}\right)$ は， 一点集合 $\left\{\mathfrak{p}\right\}$ の閉包とみなせるが， これは $\mathfrak{p}$ から到達可能な世界の集合と一致する． すなわち， $$V\left(\mathfrak{p}\right)=\{\mathfrak{q}\in \mathcal{W}:\mathfrak{p}\le \mathfrak{q}\}$$ が成り立つ． つまり，到達可能関係の情報は，閉包をとるという操作に集約されている．

基本的性質

前節までで可能世界の全体集合に位相を定義し， さらに到達可能関係が位相の言葉に翻訳できることをみた． これだけだとまだ位相を考える利益が薄いのでもう少し考えてみる．

まず開基について． ここでは $\mathcal{W}$ の位相を閉集合系によって定めたが， 通常の位相空間論の教科書のように開集合で考えることもできる． そのためには開基を考えればよい． いま， $V\left[A\right]=V\left(\left\{A\right\}\right)$ と書くことにする．このとき， $${V\left[A\right]}^{\complement }=\{\mathfrak{p}\in \mathcal{W}:\mathfrak{p}⊬A\}$$ という形の開集合の全体を考えると，これは $\mathcal{W}$ の開基をなす（頑張ると示せる）．

次に付値について． 文献 [1, p. 16] では，カノニカルモデルの性質がいくつか示されているが， $\mathcal{W}$ の位相の言葉を使って これらの性質を言い換えることが可能である． すなわち，論理式 $A,B$ に対して，次のことが成り立つ（これは，補題4を認めるならば，そのステートメントを読み替えるだけであまり難しくなかった）．

• $V\left[A\wedge B\right]=V\left[A\right]\cap V\left[B\right]$
• $V\left[A\vee B\right]=V\left[A\right]\cup V\left[B\right]$
• $\mathfrak{p}\in V\left[A\to B\right]\iff V\left(\mathfrak{p}\right)\subset {V\left[A\right]}^{\complement }\cup V\left[B\right]$
• $\mathfrak{p}\in V\left[\neg A\right]\iff V\left(\mathfrak{p}\right)\subset {V\left[A\right]}^{\complement }$

上の言い換えによって，付値の条件を集合の言葉で置き換えることが可能である．