テラスタルを考慮した PokéRank

グラフ頂点の設定

通常の PokéRank 法では、グラフの頂点は 19*18/2=171 種類のタイプを表現する。 『スカーレット・バイオレット』では、これら元のタイプに加えて、各ポケモンが固有のテラスタイプをもつ。 この情報を表現するために、グラフ頂点の設定方法を変更する必要がある。 簡単のため、今回は次の仮定のもとで計算を行う。

タイプの定常的な強さは、バトルのどのタイミングでテラスタルするかによらず、
(1) 元のタイプ、および
(2) テラスタルするかどうか、テラスタルを行う場合テラスタイプは何か
によって決まる。

このとき、各頂点には元のタイプ（171 種類）とテラスタルの種類（1+18 通り）の情報を持たせればよい。 グラフの頂点数は 171+171*18=3249 である。

実際のバトルではテラスタルのタイミングは非常に重要と思われる。より現実的な仮定のもとで計算を行うのは今後の課題である。

辺重みの設定

通常の PokéRank 法では、グラフの辺の重み $h$ は互いのタイプの「複合ダメージ倍率」の大小関係によって決められる。 具体的には次の式によって定められる。 $$h((s_1,s_2),(t_1,t_2))={log}_2\frac{max(g((s_1,s_2),(t_1,t_2)),1/8)}{max(g((t_1,t_2),(s_1,s_2)),1/8)}$$ $$g((s_1,s_2),(t_1,t_2))=max(f(s_1,(t_1,t_2)),f(s_2,(t_1,t_2)))$$ ここで、 $(s_1,s_2)$, $(t_1,t_2)$ はそれぞれ自分・相手のタイプを表す。 また、 $f$ は攻撃する際のダメージ倍率を表す。 一方、『スカーレット・バイオレット』では、テラスタルによってタイプ相性とタイプ一致ボーナスが変化する。 この情報を表現するために、グラフの辺重みの設定方法を変更する必要がある。 先行プレイ映像 [7] などに基づく考察 [8], [9] から、『スカーレット・バイオレット』のテラスタルは次のようなシステムになるのではないかと推測されている*1。

• テラスタルしたポケモンがテラスタイプと同じタイプの技をくり出した場合、タイプ一致ボーナス x1.5 が付く。
  ただし、テラスタイプと元のタイプが一致している場合は、タイプ一致ボーナスは x1.5 ではなく x2 になる。
• テラスタルしたポケモンが（テラスタイプと異なる）元のタイプと同じタイプの技をくり出した場合、 タイプ一致ボーナス x1.5 が付く。
• テラスタルしたポケモンがダメージを受ける場合は、元のタイプではなくテラスタイプを用いてダメージ計算を行う。

これらの仕様を考慮するために、今回は素朴な拡張として辺重みの計算式を次のように修正する。 $$h((s_1,s_2,s_x),(t_1,t_2,t_x))={log}_2\frac{max(f(s_1,T)\times b(s_1,s_x),f(s_2,T)\times b(s_2,s_x),f(s_x,T)\times 1.5,1.5/8)}{max(f(t_1,S)\times b(t_1,t_x),f(t_2,S)\times b(t_2,t_x),f(t_x,S)\times 1.5,1.5/8)}$$ $$b(s,s_x)=\{\begin{array}{cc}1.5& s\ne s_x\\ 2& s=s_x\end{array}$$ $$S=\{\begin{array}{cc}(s_x,-)& \text{自分がテラスタルを行う場合}\\ (s_1,s_2)& \text{自分がテラスタルを行わない場合}\end{array}$$ $$T=\{\begin{array}{cc}(t_x,-)& \text{相手がテラスタルを行う場合}\\ (t_1,t_2)& \text{相手がテラスタルを行わない場合}\end{array}$$ ここで $s_x,t_x$ は自分と相手のテラスタイプを表す。

ほのお、みず、じめん、でんきの4タイプのみを考慮する場合

手法の妥当性を確かめるために、ほのお、みず、じめん、でんきの 4 タイプだけからなる小さいモデルで予備的な実験を行う。 この場合グラフ頂点数は 5*4/2*5=50 である。 みず、じめん、でんきは三竦みをなし、一方ほのおタイプはみず、じめんに不利である。 よって、「みず > じめん ≒ でんき >> ほのお」という序列ができると予想される。 また、みず・じめんタイプは上記 4 タイプの中に弱点を持たないため得点が高くなると予想される。

Julia を用いてページランクを計算するプログラムを作成した（pokerank.jl）。 50 頂点のグラフから Google 行列を構成し、 各タイプの得点を計算した（pokerank.csv）。 固有ベクトルの計算には 2.4 秒かかった*2。

2.400986 seconds (1.90 M allocations: 99.549 MiB, 1.91% gc time, 99.96% compilation time)

得点の高かった上位 10 タイプを以下の表に示す。 得点の最大値が 100 になるように規格化している。 最も得点が高かったのは「みず・じめん／テラスタルしない」であり、 その次に「みず・でんき／テラスタイプみず」（98.1 点）、 「でんき・じめん／テラスタイプでんき」（75.3 点）、 「みず・じめん／テラスタイプみず」（71.1 点）が続いた。 最下位は「ほのお／テラスタルしない」（5.2 点）だった。

全 18 タイプを考慮する場合

前節の結果を踏まえて、この節では全 18 タイプを考慮した計算を行う。 この場合グラフ頂点数は 19*18/2*19=3249 である。 固有ベクトルの計算には 33.1 秒かかった。

33.080218 seconds (1.90 M allocations: 425.009 MiB, 0.72% gc time, 4.03% compilation time)

得点の高かった上位 30 タイプを以下の表に示す（pokerank.csv）。 最も得点が高かったのは「でんき・じめん／テラスタイプでんき」であり、 その次に「こおり・じめん／テラスタイプじめん」（99.0 点）、 「じめん・いわ／テラスタイプじめん」（95.53 点）、 「じめん・フェアリー／テラスタイプじめん」（95.51 点）が続いた。 なお、じめん・フェアリータイプのポケモンは前作『ポケットモンスター ソード・シールド』までには登場していない。 最下位は「ノーマル／テラスタルしない」（7.0 点）だった。