累乗根の [1/1] パデ近似

はじめに

x = x 0 の周りにおける 関数 f ( x ) [ m / n ] パデ近似とは, 有理関数 f m / n ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) (ただし P ( x ) , Q ( x ) はそれぞれ m , n 次多項式)であって, x = x 0 の周りにおけるテイラー展開の係数が 元の関数 f ( x ) m + n 次まで一致するもののことである[BG, p. 1].

累乗根の [1/1] パデ近似は覚えやすい形をしており,計算精度も高い. この記事では, x = 1 の周りにおける n 乗根関数の [1/1] パデ近似の式を導く. また,応用例として 47 , 42 3 の近似値を計算する*1

導出

[1/1] パデ近似なので, 分母・分子が共に1次の有理関数であって, そのテイラー展開が累乗根のテイラー展開と2次の項まで一致するものを求めたい. はじめに,関数 f ( x ) = x n x = 1 の周りで展開する. x = 1 + ε とおくと, x n = 1 + 1 n ε - n - 1 2 n 2 ε 2 + である. 次に, f 1/1 ( x ) = ( a x + b ) / ( c x + d ) x = 1 の周りで展開する. 先ほどと同様に x = 1 + ε とおくと,次のようになる. a x + b c x + d = a + b c + d + a d - b c ( c + d ) 2 ε - c ( a d - b c ) ( c + d ) 3 ε 2 +

f ( x ) f 1/1 ( x ) のテイラー展開が2次の係数まで一致すると仮定すると次の式を得る. a + b c + d = 1 , a d - b c ( c + d ) 2 = 1 n , c ( a d - b c ) ( c + d ) 3 = n - 1 2 n 2 この連立方程式を解く. 未知変数は a, b, c, d の4つであるが,条件が3つなので自由度が1つ余る. ただし,この自由度は分母と分子を定数倍するだけなので,関数 f 1/1 ( x ) は結局1つに定まる.

まず, c / ( c + d ) = ( n - 1 ) / 2 n より c = n - 1 , d = n + 1 としてよい. これを代入すると a + b = 2 n , ( n + 1 ) a - ( n - 1 ) b = 4 n を得る. ここから a = n + 1 , b = n - 1 が分かる. 以上より f ( x ) f 1/1 ( x ) = ( n + 1 ) x + ( n - 1 ) ( n - 1 ) x + ( n + 1 ) となる. x x / t で置き換えると,最終的に次の式を得る. x t n ( n + 1 ) x + ( n - 1 ) t ( n - 1 ) x + ( n + 1 ) t たとえば, n = 3 のときは次のようになる. x t 3 4 x + 2 t 2 x + 4 t = 2 x + t x + 2 t

係数の順番がややこしいが, x = 0 を代入したときに誤差が小さくなる方と覚えておくと忘れにくい.

計算例

例1. 47 の平方根を考える. t = 49 とおくと次の近似値を得る. 47 = 7 × 47 49 7 × 3 × 47 + 49 47 + 3 × 49 = 665 97 = 6.855670⋯ ( 665 97 ) 2 = 47.00021⋯ 実際には 47 = 6.85565460⋯ (相対誤差 2.3 ppm)である.

例2. 42の立方根を考える. t = 27 とおくと 次の近似値を得る. 42 3 = 3 × 42 27 3 3 × 2 × 42 + 27 42 + 2 × 27 = 111 32 = 3.46875 ( 111 32 ) 3 = 41.73678⋯ 実際には 42 3 = 3.4760266⋯ (相対誤差 0.21 %)である. 精度を上げるため, 111 / 32 に近い簡単な分数として適当に 7 / 2 を取ってもう一度計算すると 42 3 = 7 2 × 42 × 2 3 7 3 3 7 2 × 2 × 42 × 8 + 343 42 × 8 + 2 × 343 = 16 × 42 + 343 2 × ( 48 + 98 ) = 1015 292 = 3.476027397⋯ ( 1015 292 ) 3 = 42.00002727⋯ を得る(相対誤差 0.22 ppm).

平方根の近似値の計算精度のグラフ
1 200 の近似値の相対誤差のグラフ.
近似の方法による計算精度の違いを表すグラフ
k の取り方による計算精度の違い.

追記1:ハレイの方法について

(2024-01-09 作成)

この記事について愛知県の林邦英さんからお手紙 (2023.11.29) が届いた. 大変ありがたいことです. 林さんについて調べてみると,連分数論や近似論について精力的に研究なさっているようで, 沢山の研究資料がオンラインで公開されている *2. その中でも資料 [H] によると, 平方根の近似式 x 3 x + 1 x + 3 にはハレイの方法という名前がついているらしい. これは知らなかった. 博論の提出が終わったらハレイの方法についてもう少し調べたい…….

林さんからのお手紙には,常用対数の計算手法に関する結果もまとめられていた. しかしまだきちんと読めていない……大変申し訳ないことです. 内容をちゃんと理解できたら別記事とお返事のお手紙を出したい.

更新履歴

  • 2022-09-14: 公開
  • 2023-04-02: Document ID を追加
  • 2023-12-03: 名前を間違えていたので訂正
  • 2024-01-09: 追記1(林さんからのコメントを受けて)

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脚注

*1: この記事はますえく@数学垢さんの9月12日のツイートから刺激を受けて書いた.

参考文献

[BG] George A. Baker, Jr. and Peter Graves-Morris (2010). Padé approximants (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN: 978-0-521-13509-2.
[H] 林邦英 (2007年7月17日). 「ハレイの方法(3次収束)の始まりについての予想」. TOZSUN.COM, https://www.tozsun.com/whr-mathHP/report/hayasi/hayasi20070717.pdf, (2023年12月5日閲覧).