ビオ・サバールの法則とローレンツ変換
先週の輪講でビオ・サバールの法則について議論したのでここにメモしておく.
真横を通過する電荷がつくる磁界
静止した観測者 から見て,時刻 に電荷 が位置 を小さい速度 で通過する状況を考える. この電荷が原点につくる磁界を計算するため,まず電荷と同じ速度で運動する慣性系 で考える. 2つの慣性系は で原点を共有するとする. とする.
位置 にある静止した電荷 が原点につくる電磁界は . これをローレンツ変換すれば ここで を使った. 上式より,静止系では磁界 を観測することになる. これは確かに電流線素が作る磁界の式と一致している.
一般の場合
今度は,時刻 において原点を速度 で通過する電荷 が位置 につくる磁界を計算したい. 再び電荷と同じ速度で移動する慣性系 で考える.
系と 系の電磁界の間には という関係がある[AWH, pp. 867-868]. ただし は の に平行な成分である. 系では . また, の速度に垂直・平行な成分に関する分解を とすると,電界は と表される. さっきとは違って, に比例する項まで計算してみた. を上の式に代入して よって, とすれば*1 となる. これを電流の経路に沿って積分すればビオ・サバールの法則が出てくる.
感想
ローレンツ変換の式からビオ・サバールの法則が導出されることはどこかで耳にしたことがあったが, 自分で計算したことはなかった. 実際に計算してみると の項がクーロンの法則に由来していることがよく分かった.
更新履歴
- 2021-07-13: 公開
- 2021-07-13: 静止系を に変更, 2次の項までの計算を追加, 記法の変更, セクションの設定, その他細かい変更
- 2021-07-24: 脚注ではなく参考文献欄を使うようにした
- 2023-04-02: Document ID を追加
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脚注
*1:
電流素片
の次元は「電流×長さ」である.
参考文献
[AWH]
Arfken, G. B., Weber, H. J., Harris, F. E. (2013).
Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide.
(7th edition).
Academic Press.