ビオ・サバールの法則とローレンツ変換

真横を通過する電荷がつくる磁界

静止した観測者 $K$ から見て，時刻 $t=0$ に電荷 $q$ が位置 $\left(-R,0,0\right)$ を小さい速度 $\mathit{v}=\left(0,0,v\right)$ で通過する状況を考える． この電荷が原点につくる磁界を計算するため，まず電荷と同じ速度で運動する慣性系 $K^{\text{'}}$ で考える． 2つの慣性系は $t=t^{\text{'}}=0$ で原点を共有するとする． $\beta =v/c,\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ とする．

位置 $\left(-R,0,0\right)$ にある静止した電荷 $q$ が原点につくる電磁界は ${\mathit{E}}^{\text{'}}=\left(\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2},0,0\right),{\mathit{B}}^{\text{'}}=\left(0,0,0\right)$． これをローレンツ変換すれば $$B_x=\gamma \left(B_x^{\text{'}}+\frac{-v}{c^2}{E}_y^{\text{'}}\right)=0$$ $$B_y=\gamma (B_y^{\text{'}}-\frac{-v}{c^2}{E}_x^{\text{'}})=\frac{\gamma v}{c^2}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}\approx {\mu }_{0}v\frac{q}{4\pi R^2}$$ $$B_z=B_z^{\text{'}}=0$$ ここで $\gamma \approx 1$ を使った． 上式より，静止系では磁界 $\mathit{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathit{B}\approx \left(0,\frac{qv}{4\pi R^2},0\right)$ を観測することになる． これは確かに電流線素が作る磁界の式と一致している．

一般の場合

今度は，時刻 $t=0$ において原点を速度 $\mathit{v}$ で通過する電荷 $q$ が位置 $\mathit{r}$ につくる磁界を計算したい． 再び電荷と同じ速度で移動する慣性系 $K^{\text{'}}$ で考える．

$K$ 系と $K^{\text{'}}$ 系の電磁界の間には $$\mathit{B}=\gamma \left({\mathit{B}}^{\text{'}}-\frac{-\mathit{v}\times {\mathit{E}}^{\text{'}}}{c^2}\right)+\left(1-\gamma \right){\mathit{B}}_{\Vert }^{\text{'}}$$ という関係がある[AWH, pp. 867-868]． ただし ${\mathit{B}}_{\Vert }^{\text{'}}$ は ${\mathit{B}}^{\text{'}}$ の $-\mathit{v}$ に平行な成分である． $K^{\text{'}}$ 系では ${\mathit{B}}^{\text{'}}=\mathit{o}$． また， $\mathit{r}$ の速度に垂直・平行な成分に関する分解を $\mathit{r}={\mathit{r}}_{\perp }+{\mathit{r}}_{\parallel }$ とすると，電界は $${\mathit{E}}^{\text{'}}=\frac{q{\mathit{r}}^{\text{'}}}{4\pi {\epsilon }_0{r^{\text{'}}}^3}=\frac{q\left({\mathit{r}}_{\perp }+\gamma {\mathit{r}}_{\parallel }\right)}{4\pi {\epsilon }_0{\left({r_{\perp }}^2+{\gamma }^2{r_{\parallel }}^2\right)}^{3/2}}\approx \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\left[\mathit{r}+{\beta }^2\left(\frac{3r_{\parallel }^2}{2r^2}\mathit{r}+\frac{1}{2}{\mathit{r}}_{\parallel }\right)\right]$$ と表される． さっきとは違って， ${\beta }^2$ に比例する項まで計算してみた． ${\mathit{B}}^{\text{'}},{\mathit{E}}^{\text{'}}$ を上の式に代入して $$\mathit{B}\approx \frac{\gamma \mathit{v}}{c^2}\times \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\left[\mathit{r}+{\beta }^2\frac{3r_{\parallel }^2}{2r^2}\mathit{r}\right]\approx {\mu }_{0}q\mathit{v}\times \frac{\mathit{r}}{4\pi r^3}\left[1+{\beta }^2\left(\frac{1}{2}+\frac{3r_{\parallel }^2}{2r^2}\right)\right]$$ よって， $q\mathit{v}=Id\mathit{s}$ とすれば*1 $$\mathit{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathit{B}\approx \frac{Id\mathit{s}\times \mathit{r}}{4\pi r^3}$$ となる． これを電流の経路に沿って積分すればビオ・サバールの法則が出てくる．

感想

ローレンツ変換の式からビオ・サバールの法則が導出されることはどこかで耳にしたことがあったが， 自分で計算したことはなかった． 実際に計算してみると $\mathit{r}/r^3$ の項がクーロンの法則に由来していることがよく分かった．

更新履歴

• 2021-07-13: 公開
• 2021-07-13: 静止系を $K$ に変更， 2次の項までの計算を追加， 記法の変更， セクションの設定， その他細かい変更
• 2021-07-24: 脚注ではなく参考文献欄を使うようにした
• 2023-04-02: Document ID を追加

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脚注

参考文献