多項式環のちょっとかっこいい定義

定義

$K$ を（可換）体とする． $K$ 上の列であって非零の項が有限個しかないものの全体を $V$ とおく． $V$ は要素ごとの和とスカラー倍によって $K$ 上のベクトル空間となる． $V$ 上の線形変換の全体を $R$ とおく． $R$ は値ごとの和と関数合成によって環をなす． $X \in R$ を ${(X a)}_{0} = 0, {(X a)}_{n + 1} = a_{n}$ で定義する． $X$ が生成する部分環 $P$ を $K$ 上の一変数多項式環という．

確認すべき事項

$V$ がベクトル空間であること

$K$ 上の列とは，自然数の全体集合 $N$ から $K$ への写像 $a : N \to K, n \mapsto a_{n}$ のことである． $K$ 上の列の全体集合を $K^{N}$ と書く．これを用いると， $V$ は $V = {a \in K^{N} | \exists m, \forall n, n ≧ m \Rightarrow a_{n} = 0}$ と書ける． $K^{N}$ 上の和とスカラー倍を次で定める． ${(a + b)}_{n} = a_{n} + b_{n}$ ${(k a)}_{n} = k a_{n}$ $V$ は加法，逆元を取る操作，スカラー倍で閉じているから $K^{N}$ の線形部分空間である．

$R$ が環であること

$R$ 上の和と積を次で定める． $(G + F) a = G a + F a$ $(G F) a = G (F a)$ 線形写像の全体はベクトル空間をなすから，特に加法のもとで可換群をなす．一方，関数合成は結合的かつ恒等写像を単位元にもつからモノイドである．線形写像の合成はまた線形写像で，また恒等写像は線形だから $R$ は乗法で閉じており，モノイドをなす．各 $a \in X$ における値を計算することで分配律が成り立つことも分かる．

$X$ が $R$ の元であること

$X$ は非零の項を増やさないから $V$ から $V$ への写像．線形性は明らか．

通常の多項式環の定義と一致すること

多項式環 $K [x]$ は $V$ に和と積を定めたものとして定義されることが多い．同型 $φ : P \to K [x], ψ : K [x] \to P$ は次で与えられる． $φ (F) = F (1, 0, 0, \dots)$ $ψ (p) = p (X)$

更新履歴

2021-11-27: 公開
2023-04-02: Document ID を追加

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