ビオ・サバールの法則とローレンツ変換

真横を通過する電荷がつくる磁界

静止した観測者 $K$ から見て，時刻 $t=0$ に電荷 $q$ が位置 $\left(-R,0,0\right)$ を小さい速度 $v=\left(0,0,v\right)$ で通過する状況を考える． この電荷が原点につくる磁界を計算するため，まず電荷と同じ速度で運動する慣性系 $K^{\prime }$ で考える． 2つの慣性系は $t=t^{\prime }=0$ で原点を共有するとする． $\beta =v/c,\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ とする．

位置 $\left(-R,0,0\right)$ にある静止した電荷 $q$ が原点につくる電磁界は $E^{\prime }=\left(\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2},0,0\right),B^{\prime }=\left(0,0,0\right)$． これをローレンツ変換すれば $$B_x=\gamma \left(B_x^{\prime }+\frac{-v}{c^2}{E}_y^{\prime }\right)=0$$ $$B_y=\gamma (B_y^{\prime }-\frac{-v}{c^2}{E}_x^{\prime })=\frac{\gamma v}{c^2}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}\approx {\mu }_{0}v\frac{q}{4\pi R^2}$$ $$B_z=B_z^{\prime }=0$$ ここで $\gamma \approx 1$ を使った． 上式より，静止系では磁界 $H=\frac{1}{{\mu }_0}B\approx \left(0,\frac{qv}{4\pi R^2},0\right)$ を観測することになる． これは確かに電流線素が作る磁界の式と一致している．

一般の場合

今度は，時刻 $t=0$ において原点を速度 $v$ で通過する電荷 $q$ が位置 $r$ につくる磁界を計算したい． 再び電荷と同じ速度で移動する慣性系 $K^{\prime }$ で考える．

$K$ 系と $K^{\prime }$ 系の電磁界の間には $$B=\gamma \left(B^{\prime }-\frac{-v\times E^{\prime }}{c^2}\right)+\left(1-\gamma \right)B_{\parallel }^{\prime }$$ という関係がある[AWH, pp. 867-868]． ただし $B_{\parallel }^{\prime }$ は $B^{\prime }$ の $-v$ に平行な成分である． $K^{\prime }$ 系では $B^{\prime }=o$． また， $r$ の速度に垂直・平行な成分に関する分解を $r=r_{\perp }+r_{\parallel }$ とすると，電界は $$E^{\prime }=\frac{q{r}^{\prime }}{4\pi {\epsilon }_0{r^{\prime }}^3}=\frac{q\left(r_{\perp }+\gamma r_{\parallel }\right)}{4\pi {\epsilon }_0{\left({r_{\perp }}^2+{\gamma }^2{r_{\parallel }}^2\right)}^{3/2}}\approx \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\left[r+{\beta }^2\left(\frac{3r_{\parallel }^2}{2r^2}r+\frac{1}{2}{r}_{\parallel }\right)\right]$$ と表される． さっきとは違って， ${\beta }^2$ に比例する項まで計算してみた． $B^{\prime },E^{\prime }$ を上の式に代入して $$B\approx \frac{\gamma v}{c^2}\times \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\left[r+{\beta }^2\frac{3r_{\parallel }^2}{2r^2}r\right]\approx {\mu }_{0}qv\times \frac{r}{4\pi r^3}\left[1+{\beta }^2\left(\frac{1}{2}+\frac{3r_{\parallel }^2}{2r^2}\right)\right]$$ よって， $qv=Ids$ とすれば*1 $$H=\frac{1}{{\mu }_0}B\approx \frac{Ids\times r}{4\pi r^3}$$ となる． これを電流の経路に沿って積分すればビオ・サバールの法則が出てくる．

感想

ローレンツ変換の式からビオ・サバールの法則が導出されることはどこかで耳にしたことがあったが， 自分で計算したことはなかった． 実際に計算してみると $r/r^3$ の項がクーロンの法則に由来していることがよく分かった．

更新履歴

• 2021-07-13: 公開
• 2021-07-13: 静止系を $K$ に変更， 2次の項までの計算を追加， 記法の変更， セクションの設定， その他細かい変更
• 2021-07-24: 脚注ではなく参考文献欄を使うようにした
• 2023-04-02: Document ID を追加

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脚注

参考文献